排队就餐问题的优化
摘要：评价一个排队系统的好坏要以顾客和服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说，总希望等待时间或者逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些；就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加了投资，增加多了会造成浪费，增加少了会引起顾客的抱怨甚至失去顾客。
在本模型中，利用排队论中的多服务台多队模型，首先由服务员与刷卡机组成一个系统，把服务员当作系统中的顾客，把刷卡机当作服务台，利用有限顾客源模型，加以分析得出服务员与刷卡机的服务指数。因为刷卡次数等于就餐人次，从而建立起服务员、刷卡机与就餐人数之间的关系，从条件限制中，达到服务员、刷卡机、就餐师生人数的最优组合。
一问题的重述
近年来，各地普通高校都在扩招，高校原有的资源已不能适应时代的发展。高校的服务行业也是如此。特别是高校的食堂，每到中午和下午下课后食堂里人满为患。如果服务员工作效率不高，还会严重影响到师生的正常就餐。
某高校学生食堂有服务员m名，每天在高峰期有n位师生在该食堂就餐。已知每位服务员每分钟可为N位师生提供服务。每位师生每次刷卡需t秒，刷卡机数为C台。试考虑以下几个问题：
1、当n＝1000，N=1.5，t=6秒时，在高峰期（中午12点至13点）内，食堂应配多少台刷卡机和服务员？才能为学生提供正常服务（即多个服务员在同时使用刷卡机时，不能出现等待）的概率超过90％。
2、当m＝10，N=1.5，C=4，t=6秒，在高峰期（中午12点至13点）内，为学生提供正常服务的概率为0.9时，最佳的就餐人数是多少？
3、当N=1.5，t=6秒时，讨论n，m，C的最优组合。
二问题的分析
在学校的食堂里吃饭，通常都会看到很多人挤在一个窗口边排队，队伍拉得很长。本题主要是要求我们建立一个合理的模型来分析食堂的服务速率问题，实现服务员与刷卡机的合理搭配，确定食堂刷卡机的数量与服务员的数量，以提高食堂的就餐速率。
由题目进行分析，我们得出这类问题属于排队论问题。
三模型的基本假设
1．师生到达食堂就餐服从泊松分布，且学生单独到来且相互独立
2．各个窗口的服务质量（饭菜质量与服务员服务质量）一样，各个师生对饭菜的喜好程度相同，因此可认为各个队长基本一样
3．各个服务窗口的服务时间服从参数为μ的负指数分布，且各服务窗口的服务速率一样
4．食堂实行先到先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队转移，没有学生会因为队列长而离去，并且总认为排队方式为单一队列等待制
5．服务员使用刷卡机时遵循就近原则
四符号说明
n到食堂就餐的师生人数
N每位服务员每分钟提供服务的就餐师生人数
T服务员为师生打饭时间，T=1/N
m服务员数量
C刷卡机台数
t服务员使用刷卡机刷一次卡的时间
λ就餐师生到达的平均速率，即单位时间内平均到达的就餐师生数
1/λ平均到达时间间隔
μ平均服务速率，即单位时间内刷卡完毕离去的顾客数，μ=1/t
1/μ平均服务时间
s系统中服务台的个数，即为刷卡机的台数，s=C
ρ服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，一般有ρ＝λ/(sμ)
N稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）
Pn＝P{N=n｝稳态系统任一时刻状态为n的概率
特别当n=0时，。，即稳态系统所有服务台全部空闲的概率
a每分钟内所有服务员总刷卡次数
五模型的建立和解答
总体分析：
根据我们在食堂一般所见的状况可知，我们的所要研究的模型为排队论中的多服务台多队系统，该系统的图示如下：
多服务台多队系统
…
…
顾客到达
服务台
顾客离去
服务台
服务台
…
…
基于以上假设，我们的模型符合排队论中的多服务台模型(M/M/s)。该模型的特点的是系统的服务速率与系统中的顾客数有关，当系统中的顾客数K不大于服务台个数，即1〈=K〈=S，系统中的顾客全部在服务台中，这时系统的服务速率为Kμ；当系统中的顾客数K〉S时，服务台正在接受服务的顾客数仍为S个，其余顾客在队列中等待服务，这时的服务速率为Sμ。此系统的状态转移图如下：
0
1
2
s-1
s
…
s+1
n-1
n
…
模型状态转移图
由所给题目可知：在我们研究的模型中，刷卡时间比服务员为师生的打饭时间要短得多，即在食堂中可以有多个服务员共用一个刷卡机而不出现冲突的情况，且根据实际的情况，我们也知道常常是多个服务员共用一个刷卡机。已知每位服务员每分钟可为N位师生提供服务，理解为服务员为师生提供打饭服务，此时服务时间为T（T=1/N），这里我们假设T不包括刷卡时间t.
就餐师生是有限的，人数为n，从而可认为模型中的顾客源是有限的。而现在我们令模型中的服务员作为顾客，而刷卡机作为服务台，此时模型不改变。显然，当服务员刷过一次卡后，即是一位就餐者接受完服务。从而易知，所有服务员的总刷卡次数即为就餐师生的总人数n.
其次在系统中，所有刷卡机有以一定距离地排放在一起，之间没有阻隔，距离也不远，服务员可以使用其中的任何一台机子刷卡，但是为了提高效率，服务员采取就近原则，即当为一名师生打好饭时，会就近在一台空闲的刷卡机上刷卡。
问题（1）：
为了保证师生在高峰期（中午12点到13点）内，服务员为师生提供正常的服务（即多个服务员在使用刷卡机时，不出现等待）的概率超过90%，从而我们需要对该系统进行分析，计算食堂应该分配多少刷卡机和服务员。
服务员为师生提供正常的服务的概率超过90%，理解为到刷卡机刷卡的服务员的数量为0和1的概率大于0.9，即：
有该系统的状态转移
0
1
2
s-1
s
…
s+1
n-1
n
…
模型状态转移图
稳态概率方程为：
由解得：
式中
已知为：n＝1000，N=1.5人/分钟，t=6秒=0.1分钟，T=1/N=2/3分钟=40秒，
根据假设有：s=C，λ=N=1.5人/分钟，μ=1/t=10人/分钟，ρ＝mλ/(sμ)
在服务时间（一小时）内，服务员总共刷卡次数为1000次，则平均每分钟刷卡次数为a=1000/60次，又有，即是刷卡机前没有有等待的概率大于0.9。
利用以上公式及数据，可计算出刷卡机台数及服务员的数量。
用WINQSB求解如下：
有：，即为平均刷卡次数等于平均就餐人数
通过迭代可得：
最佳的刷卡机台数为5
服务员数为12
结果为：
分析有：
问题（2）：
由问题1的模型解答可以倒推得该问题的解，由已知：
m＝10人，N=1.5人/分钟，C=4台，t=6秒，
根据假设有：s=C=4，λ=N=1.5人/分钟，μ=1/t=10人/分钟，ρ＝mλ/(sμ)
用WINQSB求解如下：
输入以上数据得到：
计算得到：
从而可知
=0.2467=0.3701=0.2498=0.0999=0.0262
平均到达人数为：L=
平均刷卡人数为：L-Lq=
每分钟每台刷卡机平均刷卡次数=L-Lq=1.3119-0.0087=1.3032
则，一小时内所有刷卡机(4台)刷卡次数=60*4*1.3032=312.768人
刷卡次数即等于师生的服务人数。
最佳就餐人数=312.768人
问题（3）：
当N=1.5，t=6秒时，利用m与C可解得单位时间内提供服务的就餐人数，从而确定n.
而当n确定时，可确定m与C的数量。
通过以上的计算，可得到三者之间的关系为：
n/60<=1.5m<=10C
当取等号时，n，m，C达到最优组合。
六模型评价
在本模型中，假设各个窗口的服务质量一样（饭菜质量与服务员服务质量），从而保证了在计算中，各个队列的长度相等。假设各个服务窗口的服务速率一样，保证了个队列的无差异性。这两个假设在以合理性为前提的基础上，简化了计算。
而提出食堂实行先到先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队转移和服务员使用刷卡机时遵循就近原则的假设，也是符合实际情况的。
另外，把服务员与刷卡机看成一个系统，再使之与就餐学生联系，从使问题更容易解决。
但是，实际情况下，各个窗口的服务质量和各个服务窗口的服务速率都不可能完全一样，模型假设的是一种理想化的简化状态，因此，在实际应用中这些差异也是要考虑的。
七模型的改进
食堂可以让刷卡机放置在另一处，在一处打饭，然后到另一处刷卡，这样效率会提高。因为刷卡的时间比打饭的时间要短得多。
模型在解决问题3处没有得出n，m，C比较好完满的关系，最优组合的关系没有真正地给出。
参考文献
[1]熊伟，运筹学，武汉，武汉理工大学
[2]姜启源等，数学模型，北京，高等教育出版社
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