喝饮料中的数学问题
人大附中高一13班滑冰
一。发现并提出问题
大家一定有儿时喝那种“退瓶型”汽水饮料的经历吧。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么这道小学时的奥林匹克数学题你应该见到过：
现有10瓶汽水，每三个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？
我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14瓶）
当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有些聪明人就给出了正确答案：借来一个空瓶，连同那剩下的两个空瓶一起，换一整瓶，喝后把这个空瓶子还给人家。共喝了15瓶。
这就是这道题的正确答案。
最近我突然想到了这个问题，它能不能被深入地推广一下呢？
于是我就开始了对这个论文题目的思考与研究。
二。建立数学模型
我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
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原有饮料瓶数X |
实际能喝到的瓶数 |
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1 |
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3 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
9 |
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7 |
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9 |
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注意观察：3、4/6、7/9、10/12、13
发现什么了吗？根据不完全归纳的情况，我得到这样一条重要的线索：当原有偶数瓶饮料时，实际能喝到原来3/2倍瓶数的饮料。若原有奇数瓶，则实际喝到原来3/2倍瓶数取整的饮料。
但这只是不完全归纳，如何从正面直接推导呢？
三。数学模型的分析与问题的解决
又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用文章开头那种“借瓶子”的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些剩余的空瓶：分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有瓶”的汽水（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样就可以正面对待问题了。
当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为X/2个组，正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X+X/2=3/2X瓶。
当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为（X—1）/2个组，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X+（X—1）/2=3/2X-1/2瓶。其实和3/2X取整之后结果是一样的。
这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶饮料，又会怎么样呢？
四。数学模型的进一步推广
现有X瓶汽水，每Y个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？
由上文的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶饮料，那么每拥有（Y—1）个空瓶，就可以用借瓶子法得到一瓶饮料。所以当喝完X瓶饮料得到X个空瓶之后，又能喝到[X/（Y—1）]瓶饮料。总共就是[X+X/（Y—1）]瓶饮料。整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到[XY/（Y—1）]瓶饮料。
五。论文总结：
问题：现有X瓶饮料，每Y个空瓶可以换一瓶新的饮料。问总共能喝到多少瓶饮料呢？
答：总共可以喝到[XY/（Y—1）]瓶饮料。
附。论文写作后记：
这篇文章的题目是我在一次通宵火车上偶然想到的。在百无聊赖的时候，我给我父亲出了文章开始时那样的一道问题，却引发了我们长时间的讨论。这种题目类型不止用于换饮料当中。啤酒、酱油、醋……生活中的这类问题并不少见。而细致地进行处理，周密地进行思考，就可以从容地应对那些看似复杂的问题。这个问题的解决，对于我们在日常生活中“用最小的开支，取得最大的效果”，也是有指导意义的。
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